Sum af række af ulige tal 2

summen af ethvert (vilkårligt)

ulige sluttal og de foregående

ulige tal, startende med 1. Fx

er summen af: 1 + 3 + 5 + 7 +

9 = 25. Se nedenfor:

"x" Subscript, 2 , Baseline	"y" Subscript, 2 , Baseline
1	1	r1c3:
3	4	r2c3:
5	9	r3c3:
7	16	r4c3:
9	25	r5c3:
11	36	r6c3:
13	49	r7c3:
		r8c3:

Avaldis 49: "y" Subscript, 2 , Baseline tilde "a" "x" squared plus "b" "x" Subscript, 2 , Baseline plus "c"

Bevis for formlens rigtighed

Vi skal bevise, at den både

gælder for starttallet 1 og for

( n + 1 ). Vi indsætter først 1 på

n's plads i ligningen: 2 n - 1 =

n ² og får, at 1 = 1 ², hvorfor

ligningen er sand for n = 1.

Det var jo nemt.

Indsætter vi ( n + 1 ) i stedet

for n, skal summen af tallene

fra 1 til og med sluttallet give

( n + 1 ) ² i stedet for n ².

Følgelig skal forskellen mellem

( n + 1 ) ² og n ², som er lig

med ( 2 n + 1 ), lægges til på

begge sider af lighedstegnet.

Og dermed er:

1 + 3 + 5 + 7 ... ( 2 n - 1 ) +

( 2 n + 1 ) =

n ^ 2 + ( 2 n + 1 ) =

( n + 1 ) ²

Hvis n fx er 7, så er sluttallet

givet ved 2 ⋅ 7 + 1 = 15, mens

det næstsidste tal er bestemt

ved 2 ⋅ 7 - 1 = 13. Og summen

af de ulige tal fra 1 til 15 er

bestemt ved ( n + 1 ) ² =

8 ² = 64:

Hvis sluttallet ( 2 ⋅ n - 1 ) =

Avaldis 79: "k" equals 27

227

så er summen af talrækken =

Avaldis 81: left parenthesis, StartFraction, "k" plus 1 Over 2 , EndFraction , right parenthesis squared

equals

196

Avaldis 82: Start sum from "i" equals 1 to "k" squared plus 2 "k" plus 1, end sum, 1 quarter

equals

196

idet n =

Avaldis 84: StartFraction, "k" plus 1 Over 2 , EndFraction

equals

Linjer og punkter

toiteallikas