Sum af række af ulige tal 2

summen af ethvert (vilkårligt)

ulige sluttal og de foregående

ulige tal, startende med 1. Fx

er summen af: 1 + 3 + 5 + 7 +

9 = 25. Se nedenfor:

Vi skal bevise, at den både

gælder for starttallet 1 og for

( n + 1 ). Vi indsætter først 1 på

n's plads i ligningen: 2 n - 1 =

n ² og får, at 1 = 1 ², hvorfor

ligningen er sand for n = 1.

Det var jo nemt.

Indsætter vi ( n + 1 ) i stedet

for n, skal summen af tallene

fra 1 til og med sluttallet give

( n + 1 ) ² i stedet for n ².

Følgelig skal forskellen mellem

( n + 1 ) ² og n ², som er lig

med ( 2 n + 1 ), lægges til på

begge sider af lighedstegnet.

Og dermed er:

1 + 3 + 5 + 7 ... ( 2 n - 1 ) +

( 2 n + 1 ) =

n ^ 2 + ( 2 n + 1 ) =

( n + 1 ) ²

Hvis n fx er 7, så er sluttallet

givet ved 2 ⋅ 7 + 1 = 15, mens

det næstsidste tal er bestemt

ved 2 ⋅ 7 - 1 = 13. Og summen

af de ulige tal fra 1 til 15 er

bestemt ved ( n + 1 ) ² =

8 ² = 64: