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Si on somme sur tous les k
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equals
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0
.1
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equals
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equals
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equals
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La fonction
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est croissante (tant qu'elle est convexe). Elle est aussi égale à (pour n>=2)
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Donc (pour n>=2)
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La seconde partie est égale à (à une constante près)
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sa dérivée est égale à
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qui est positive si ça est vrai pour tout n>2
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Or, la partie de droite est bornée et satisfait
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Ainsi, il faut absolument avoir 3\alpha+3\beta-1-\frac{3\lambda}{4}>0 sinon éventuellement l'inégalité ne sera pas satisfaite. Inversement, si 3\alpha+3\beta-1-\frac{3\lambda}{4}>0, alors si
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est satisfait, on aura
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et l'inégalité est satisfaite. Ainsi, la seconde fonction est croissante "SI ET SEULEMENT SI" 3\alpha+3\beta-1-\frac{3\lambda}{4}>0.
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